| 摘要 | 第5-7页 |
| Abstract | 第7-8页 |
| 第一章 绪论 | 第11-29页 |
| 1.1 研究背景和发展现状 | 第11-21页 |
| 1.1.1 基本间隙问题 | 第11-16页 |
| 1.1.2 Bakry-(?)mery Ricci曲率积分条件下局部Sobolev常数 | 第16-21页 |
| 1.2 主要工作和创新点 | 第21-27页 |
| 1.3 主要结构 | 第27-29页 |
| 第二章 球面中凸区域上基本间隙的最优下界估计 | 第29-67页 |
| 2.1 预备知识 | 第29-34页 |
| 2.1.1 空间形式的旋转对称性 | 第30页 |
| 2.1.2 空间形式中极小测地线的变分 | 第30-32页 |
| 2.1.3 两点距离函数的“Laplacian比较定理” | 第32-34页 |
| 2.2 一维模型空间的几何量 | 第34-42页 |
| 2.2.1 特征函数的性质 | 第34-37页 |
| 2.2.2 基本间隙下界最优估计及单调性公式 | 第37-42页 |
| 2.3 第一特征函数的log-concavity | 第42-56页 |
| 2.3.1 初始模量的保持 | 第42-53页 |
| 2.3.2 几个应用 | 第53-56页 |
| 2.4 基本间隙比较定理 | 第56-67页 |
| 第三章 Bakry-(?)mery Ricci曲率积分条件下的局部Sobolev常数 | 第67-95页 |
| 3.1 光滑度量测度空间 | 第67-77页 |
| 3.1.1 基本概念 | 第68-69页 |
| 3.1.2 主要工具—体积比较定理 | 第69-75页 |
| 3.1.3 局部等周常数和Sobolev常数 | 第75-77页 |
| 3.2 局部Dirichlet等周常数估计 | 第77-84页 |
| 3.2.1 预备引理 | 第77-82页 |
| 3.2.2 主要定理的证明 | 第82-83页 |
| 3.2.3 L~2-型Sobolev不等式 | 第83-84页 |
| 3.3 L~2-型Sobolev不等式的应用 | 第84-95页 |
| 3.3.1 f-Laplacian的第一特征值下界估计 | 第84-85页 |
| 3.3.2 极大值原理 | 第85-88页 |
| 3.3.3 梯度估计 | 第88-95页 |
| 第四章 本文总结及未来展望 | 第95-97页 |
| 参考文献 | 第97-107页 |
| 发表文章目录 | 第107-109页 |
| 致谢 | 第109-110页 |
