| 摘要 | 第5-10页 |
| ABSTRACT | 第10-15页 |
| 第1章 引言 | 第18-28页 |
| 1.1 Obata定理及其推广 | 第18-20页 |
| 1.2 Warped Product空间中的自相似解以及加权的Minkowski不等式 | 第20-22页 |
| 1.3 关于Bakry-Emery瑞奇曲率的单调性公式 | 第22-24页 |
| 1.4 梯度瑞奇孤立子 | 第24-28页 |
| 第2章 Obata定理及其推广 | 第28-50页 |
| 2.1 主要内容 | 第28-29页 |
| 2.2 一般的刚性定理Ⅰ | 第29-36页 |
| 2.2.1 刚性定理 | 第29页 |
| 2.2.2 M_(f,μ)的构造 | 第29-31页 |
| 2.2.3 雅克比场的计算 | 第31-33页 |
| 2.2.4 定理2.3的证明 | 第33页 |
| 2.2.5 一般的刚性定理Ⅱ | 第33-36页 |
| 2.3 Warped乘积结构 | 第36-39页 |
| 2.4 双曲版本 | 第39-43页 |
| 2.5 欧氏版本 | 第43-44页 |
| 2.6 一般方程的刚性定理 | 第44-46页 |
| 2.7 非完备Obata定理 | 第46-50页 |
| 第3章 Warped乘积空间中的自相似解以及加权的Minkowsk | 第50-62页 |
| 3.1 主要结果 | 第50-52页 |
| 3.2 Warped Product空间的基本知识 | 第52-53页 |
| 3.3 Warped Product空间中的自相似解 | 第53-58页 |
| 3.3.1 △|A|~2的计算 | 第53-55页 |
| 3.3.2 |A|~2/H~2满足的椭圆方程 | 第55页 |
| 3.3.3 主要的定理 | 第55-58页 |
| 3.4 加权的Minkowski不等式 | 第58-62页 |
| 3.4.1 Brendle的想法 | 第58-59页 |
| 3.4.2 加权的Minkowski不等式的证明 | 第59-62页 |
| 第4章 关于Bakry-Emery瑞奇曲率的单调性公式 | 第62-80页 |
| 4.1 基础知识及主要结果 | 第62-64页 |
| 4.2 格林函数 | 第64-66页 |
| 4.3 b和|▽b|的f-拉普拉斯 | 第66-67页 |
| 4.4 单调性公式 | 第67-73页 |
| 4.5 Ric_f~N≥0时的单调性公式 | 第73-76页 |
| 4.6 Ric_f≥0时的单调性公式 | 第76-80页 |
| 第5章 梯度孤立子 | 第80-88页 |
| 5.1 基础知识 | 第80-81页 |
| 5.2 关于梯度收缩孤立子的一些结果 | 第81-85页 |
| 5.3 关于梯度稳定孤立子的一些结果 | 第85-86页 |
| 5.4 梯度扩张孤立子的曲率界 | 第86-88页 |
| 参考文献 | 第88-96页 |
| 致谢 | 第96-98页 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 | 第98页 |
