| 摘要 | 第5-6页 |
| abstract | 第6-7页 |
| 第一章 带多尺度和不确定性的输运与波动问题的计算方法：简介 | 第16-22页 |
| 1.1 物理方程的不确定性量化 | 第16-19页 |
| 1.1.1 已有方法简介 | 第17页 |
| 1.1.2 广义多项式混沌(gPC) | 第17-18页 |
| 1.1.3 gPC方法的发展与应用 | 第18页 |
| 1.1.4 侵入性方法(Intrusive Method):随机伽辽金方法 | 第18页 |
| 1.1.5 非侵入性的方法(Non-intrusive Method)：随机配点法 | 第18页 |
| 1.1.6 gPC方法小结 | 第18-19页 |
| 1.2 本文的主要内容与创新点 | 第19-22页 |
| 1.2.1 带有随机、间断系数的双曲型方程方程：提出离散gPC-SG方法 | 第19页 |
| 1.2.2 带有不确定性的输运方程：gPC-SG方法的一致(关于克努森数)收敛性分析与micro-macro格式的构建 | 第19页 |
| 1.2.3 使用非均匀快速傅立叶变换(NUFFT)改进具有向量势的半经典薛定谔方程的快速算法 | 第19-20页 |
| 1.2.4 具有分数阶导数(Caputo)的守恒律方程的数值分析与计算 | 第20-22页 |
| 第二章 gPC-SG方法在带有间断及随机系数的双曲型方程中的应用 | 第22-48页 |
| 2.1 带有间断、随机波速的对流方程的离散gPC-SG方法 | 第23-31页 |
| 2.1.1 格式 | 第24-25页 |
| 2.1.2 误差估计和收敛性分析 | 第25-31页 |
| 2.2 用于带随机势函数的刘维尔方程的离散gPC-SG方法 | 第31-35页 |
| 2.2.1 一阶空间离散格式 | 第32-33页 |
| 2.2.2 二阶空间离散格式 | 第33-35页 |
| 2.3 数值例子 | 第35-46页 |
| 2.3.1 例一：带有随机间断系数的标量对流方程 | 第35-40页 |
| 2.3.2 例二：带有随机间断势的刘维尔方程 | 第40-46页 |
| 2.4 本章总结与展望 | 第46-48页 |
| 第三章 gPC-SG方法在带有随机输入及多尺度的线性输运方程中的应用 | 第48-76页 |
| 3.1 扩散极限 | 第49-50页 |
| 3.2 基于推广多项式混沌的随机伽辽金方法(gPC-SG)在输运方程中的应用 | 第50-52页 |
| 3.3 gPC-SG方法在随机空间的正则性和一致谱收敛分析 | 第52-61页 |
| 3.3.1 证明中要用到的记号 | 第52-53页 |
| 3.3.2 随机空间的正则性 | 第53-58页 |
| 3.3.3 一致的谱收敛 | 第58-61页 |
| 3.4 全离散格式 | 第61-62页 |
| 3.5 一致稳定性 | 第62-65页 |
| 3.5.1 一些记号和相关引理 | 第62-63页 |
| 3.5.2 能量估计 | 第63-65页 |
| 3.6 数值例子 | 第65-74页 |
| 3.6.1 例一：收敛性测试 | 第65-68页 |
| 3.6.2 例二：混合尺度 | 第68-70页 |
| 3.6.3 例三：随机初值 | 第70页 |
| 3.6.4 例四：随机边界条件 | 第70-72页 |
| 3.6.5 例五：二维随机空间 | 第72-74页 |
| 3.7 本章总结与展望 | 第74-76页 |
| 第四章 使用NUFFT的半拉格朗日时间算子分裂法在具有向量势的薛定谔方程的应用 | 第76-92页 |
| 4.1 数值方法 | 第78-81页 |
| 4.1.1 时间算子分裂与谱逼近 | 第78-80页 |
| 4.1.2 使用NUFFT的半拉格朗日方法解对流方程 | 第80页 |
| 4.1.3 NUFFT算法简介 | 第80-81页 |
| 4.2 数值分析 | 第81-86页 |
| 4.2.1 稳定性分析 | 第82-83页 |
| 4.2.2 波函数的误差估计 | 第83-85页 |
| 4.2.3 物理观测量的误差估计 | 第85-86页 |
| 4.3 数值例子 | 第86-90页 |
| 4.4 本章总结与展望 | 第90-92页 |
| 第五章 带Caputo导数的分数阶守恒律方程的显示与隐式TVD算法 | 第92-114页 |
| 5.1 基本知识和定义 | 第93-94页 |
| 5.2 Caputo导数的数值逼近 | 第94-96页 |
| 5.3 数值方法和稳定性分析 | 第96-105页 |
| 5.3.1 FODE模型的向后欧拉格式 | 第96-99页 |
| 5.3.2 标量守恒律方程的显示迎风格式 | 第99-102页 |
| 5.3.3 标量守恒律方程的隐式格式 | 第102-105页 |
| 5.4 数值例子 | 第105-113页 |
| 5.4.1 显式格式的例子 | 第105-107页 |
| 5.4.2 隐式格式的例子 | 第107-113页 |
| 5.5 本章总结与展望 | 第113-114页 |
| 全文总结与展望 | 第114-116页 |
| 附录A 质量和能量守恒的证明 | 第116-118页 |
| A.1 质量守恒 | 第116页 |
| A.2 能量守恒 | 第116-118页 |
| 参考文献 | 第118-128页 |
| 致谢 | 第128-130页 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 | 第130页 |
