| 摘要 | 第5-7页 |
| Abstract | 第7-8页 |
| 第一章 绪论 | 第15-21页 |
| 1.1 物理背景和研究意义 | 第15-17页 |
| 1.1.1 反幂势薛定谔方程的物理背景和研究意义 | 第15-16页 |
| 1.1.2 分数阶Laplace方程的物理背景和研究意义 | 第16-17页 |
| 1.2 研究现状 | 第17-19页 |
| 1.2.1 反幂势薛定谔方程的研究现状 | 第18页 |
| 1.2.2 分数阶Laplace方程的研究现状 | 第18-19页 |
| 1.3 研究内容与结构安排 | 第19-21页 |
| 第二章 预备知识 | 第21-33页 |
| 2.1 符号及约定 | 第21页 |
| 2.2 球调和多项式以及球调和函数 | 第21-23页 |
| 2.3 Laguerre多项式 | 第23-24页 |
| 2.4 Mintz-Hermite多项式以及Mintz-Hermite函数 | 第24-25页 |
| 2.5 Jacobi多项式以及广义Jacobi多项式 | 第25-27页 |
| 2.6 球正交多项式以及球正交函数 | 第27-30页 |
| 2.7 Sobolev空间 | 第30-33页 |
| 第三章 有界区域上反幂势薛定谔方程特征值问题的谱方法 | 第33-53页 |
| 3.1 球上反位势薛定谔方程特征值问题的谱方法 | 第34-37页 |
| 3.1.1 问题描述 | 第34页 |
| 3.1.2 Galerkin谱逼近格式及其实现 | 第34-36页 |
| 3.1.3 数值实验结果 | 第36-37页 |
| 3.2 球上反立方势薛定谔方程特征值问题的谱方法 | 第37-39页 |
| 3.2.1 问题描述 | 第37-38页 |
| 3.2.2 Galerkin谱逼近格式及其实现 | 第38-39页 |
| 3.2.3 数值实验结果 | 第39页 |
| 3.3 多边形区域上反位势薛定谔方程特征值问题的谱元方法 | 第39-46页 |
| 3.3.1 正方形区域上的morta谱元方法 | 第40-43页 |
| 3.3.2 L-型区域上的mortar谱元方法 | 第43-44页 |
| 3.3.3 数值实验结果 | 第44-46页 |
| 3.4 燃料电池数学模型特征值问题的谱方法 | 第46-51页 |
| 3.4.1 问题描述 | 第46-47页 |
| 3.4.2 Galerkin谱逼近格式及其实现 | 第47-50页 |
| 3.4.3 数值实验结果 | 第50-51页 |
| 3.5 本章小结 | 第51-53页 |
| 第四章 全空间上反幂势薛定谔方程的谱方法 | 第53-74页 |
| 4.1 逆平方势薛定谔方程特征值问题的谱方法 | 第53-60页 |
| 4.1.1 问题描述 | 第53-54页 |
| 4.1.2 谱分析 | 第54-55页 |
| 4.1.3 Galerkin谱逼近格式及其实现 | 第55-58页 |
| 4.1.4 误差估计 | 第58-60页 |
| 4.2 具有r~α型奇异解逆平方势薛定谔方程的谱方法 | 第60-66页 |
| 4.2.1 问题描述 | 第60页 |
| 4.2.2 Galerkin谱逼近格式及其实现 | 第60-63页 |
| 4.2.3 收敛性分析 | 第63-66页 |
| 4.3 数值实验结果 | 第66-73页 |
| 4.3.1 算例1 | 第66-68页 |
| 4.3.2 算例2 | 第68-73页 |
| 4.4 本章小结 | 第73-74页 |
| 第五章 任意球上分数阶Laplace方程的高效谱方法 | 第74-99页 |
| 5.1 分数阶Laplace方程特征值问题 | 第74-77页 |
| 5.1.1 问题描述 | 第74-75页 |
| 5.1.2 Galerkin谱逼近格式及其实现 | 第75-77页 |
| 5.2 分数阶Laplace方程源问题 | 第77-78页 |
| 5.2.1 问题描述 | 第77-78页 |
| 5.2.2 Galerkin谱逼近格式及其实现 | 第78页 |
| 5.3 球正交多项式逼近 | 第78-85页 |
| 5.3.1 球多项式的Sturm-Liouville方程 | 第78-83页 |
| 5.3.2 正交投影 | 第83-85页 |
| 5.4 分数阶Laplace方程源问题的收敛性分析 | 第85-87页 |
| 5.5 分数阶Laplace方程特征值问题的数值分析 | 第87-91页 |
| 5.6 数值实验结果 | 第91-99页 |
| 5.6.1 Laplace方程特征值问题数值实验结果 | 第92-94页 |
| 5.6.2 Laplace方程源问题数值实验结果 | 第94-96页 |
| 5.6.3 本章小结 | 第96-99页 |
| 第六章 总结与展望 | 第99-100页 |
| 致谢 | 第100-101页 |
| 参考文献 | 第101-106页 |
| 附录A | 第106-109页 |
| A.1 变分问题(3-11)对应的刚度矩阵和质量矩阵的元素计算 | 第106-109页 |
| 附录B 攻读博士学位期间发表的论文 | 第109页 |
