| 摘要 | 第6-7页 |
| ABSTRACT | 第7页 |
| 第一章 绪论 | 第14-26页 |
| 1.1 谱方法 | 第14-17页 |
| 1.1.1 背景 | 第14页 |
| 1.1.2 分类 | 第14-15页 |
| 1.1.3 谱方法的利弊与研究热点 | 第15-17页 |
| 1.2 研究新视角-对称性与群理论 | 第17-19页 |
| 1.2.1 对称性 | 第17-18页 |
| 1.2.2 群论 | 第18-19页 |
| 1.3 整体的研究思路 | 第19-23页 |
| 1.3.1 二面体群D_4的对称性的应用 | 第19-21页 |
| 1.3.2 方圆域内函数的多项式的插值问题 | 第21-23页 |
| 1.4 论文的主要工作 | 第23-26页 |
| 第二章 预备知识 | 第26-30页 |
| 2.1 表示符号 | 第26页 |
| 2.2 定义 | 第26-28页 |
| 2.2.1 元素 | 第26页 |
| 2.2.2 群的结构 | 第26-27页 |
| 2.2.3 矩阵表示 | 第27-28页 |
| 2.3 面体群D_4是非常理想的 | 第28-30页 |
| 第三章 D_4对称群下网格及三类多项式的对称化及应用 | 第30-58页 |
| 3.1 面体群D_4 | 第31-32页 |
| 3.2 对称网格的生成 | 第32-34页 |
| 3.3 基的集合 | 第34-40页 |
| 3.3.1 Chebyshev多项式 | 第34-35页 |
| 3.3.2 径向基函数(RBFs) | 第35页 |
| 3.3.3 Zernike基函数 | 第35-40页 |
| 3.4 基函数的对称化 | 第40-42页 |
| 3.4.1 RBFs基的构造 | 第42页 |
| 3.5 利用对称性 | 第42-47页 |
| 3.5.1 为什么正方形是特殊的 | 第42-43页 |
| 3.5.2 D_4不变域的非张量网格上的插值 | 第43-44页 |
| 3.5.3 两大类子问题的特性 | 第44-46页 |
| 3.5.4 偏微分方程 | 第46页 |
| 3.5.5 分析工具 | 第46-47页 |
| 3.6 运算量的节省 | 第47页 |
| 3.7 数值算例 | 第47-56页 |
| 3.8 小结 | 第56-58页 |
| 第四章 扩展网格上的函数的多项式超插值与径向基函数插值 | 第58-94页 |
| 4.1 引言 | 第58-61页 |
| 4.2 预备知识 | 第61-64页 |
| 4.2.1 截断 | 第61-62页 |
| 4.2.2 Zernike多项式的性质与缩放 | 第62-63页 |
| 4.2.3 对称群 | 第63-64页 |
| 4.3 扩展 | 第64-74页 |
| 4.3.1 一维扩展 | 第65-68页 |
| 4.3.2 二维扩展：单位圆上的chebyshev级数的张量积 | 第68-70页 |
| 4.3.3 单位正方形区域内的Zernike多形式 | 第70-71页 |
| 4.3.4 Zernike多项式与Chebyshev多项式：平局 | 第71-74页 |
| 4.4 均匀网格 | 第74-79页 |
| 4.4.1 正方形内的均匀截断网格 | 第75-77页 |
| 4.4.2 边界点 | 第77页 |
| 4.4.3 六边形均匀网格 | 第77-79页 |
| 4.5 隐式指定边界的区域内的Chebyshev-like网格 | 第79-81页 |
| 4.5.1 动机：边界处网格的优点 | 第79页 |
| 4.5.2 利用边界定义的函数的等值线 | 第79-81页 |
| 4.5.3 推广：当边界是参数曲线 | 第81页 |
| 4.6 数值算例 | 第81-89页 |
| 4.6.1 算例的简介 | 第81-82页 |
| 4.6.2 方圆域内的多项式超插值 | 第82-83页 |
| 4.6.3 网格 | 第83-88页 |
| 4.6.4 没有边界点的径向基函数插值法 | 第88页 |
| 4.6.5 具有边界点的径向基函数插值 | 第88-89页 |
| 4.7 小结 | 第89-94页 |
| 第五章 总结和展望 | 第94-96页 |
| 附录 | 第96-102页 |
| 附录A 不可约表示,Cayley表格等 | 第96-100页 |
| 附录B Legendre-Fourier正交 | 第100-102页 |
| 参考文献 | 第102-112页 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 | 第112-114页 |
| 致谢 | 第114-115页 |
