| 中文摘要 | 第3-5页 |
| Abstract | 第5-7页 |
| 第一章 绪论 | 第11-24页 |
| 1.1 反常扩散 | 第11-12页 |
| 1.2 几类分数阶导数模型 | 第12-17页 |
| 1.2.1 典范分数阶偏微分方程 | 第12-14页 |
| 1.2.2 回火分数阶偏微分方程 | 第14-16页 |
| 1.2.3 回火分数阶Feynman-Kac方程 | 第16-17页 |
| 1.3 分数阶偏微分方程数值解的研究现状 | 第17-18页 |
| 1.4 论文研究内容和创新之处 | 第18-22页 |
| 1.5 论文结构安排 | 第22-24页 |
| 第二章 回火分数阶Laplace方程的Riesz基Galerkin方案 | 第24-58页 |
| 2.1 准备知识 | 第25-31页 |
| 2.1.1 分数阶Soboley空间 | 第25-26页 |
| 2.1.2 回火分数阶Laplace算子的一些性质 | 第26-31页 |
| 2.2 齐次边值问题的弱解和适定性 | 第31-35页 |
| 2.2.1 弱解的定义 | 第31-33页 |
| 2.2.2 弱解的存在唯一性 | 第33-35页 |
| 2.3 弱解的有限维逼近和收敛性分析 | 第35-41页 |
| 2.3.1 单尺度B-样条基函数和多尺度Reisz基函数 | 第36-38页 |
| 2.3.2 收敛性分析 | 第38-41页 |
| 2.4 微分矩阵的生成及预处理 | 第41-47页 |
| 2.4.1 刚度矩阵的计算 | 第41-43页 |
| 2.4.2 条件数和预处理 | 第43-47页 |
| 2.5 带有非齐次狄里克莱边界条件的问题的弱解 | 第47-49页 |
| 2.6 数值结果 | 第49-53页 |
| 2.7 本章小结 | 第53-54页 |
| 2.8 附录:PCG迭代和快速矩阵向量乘积 | 第54-58页 |
| 第三章 回火分数阶Laplace方程的有限差分方案 | 第58-80页 |
| 3.1 α ∈(0,1)时的有限差分方案 | 第58-65页 |
| 3.1.1 差分方案的推导 | 第58-62页 |
| 3.1.2 误差估计 | 第62-65页 |
| 3.2 算法实施细节 | 第65-70页 |
| 3.2.1 刚度矩阵的结构和特征值分布 | 第65-68页 |
| 3.2.2 两种有效的预处理子 | 第68-70页 |
| 3.3 α ∈[1,2)时的有限差分方案 | 第70-72页 |
| 3.4 数值结果 | 第72-76页 |
| 3.5 本章小结 | 第76-78页 |
| 3.6 附录:Gauss-Jacobi积分和不完全Cholesky分解 | 第78-80页 |
| 第四章 含积分-微分型回火分数阶导数的偏微分方程的有限元方案 | 第80-102页 |
| 4.1 预备知识 | 第81-85页 |
| 4.1.1 回火分数阶微积分的定义 | 第81-83页 |
| 4.1.2 回火分数阶微积分的基本性质及一些不等关系 | 第83-85页 |
| 4.2 回火分数阶微分算子的变分性质 | 第85-89页 |
| 4.3 回火分数阶模型的Galerkin和Petrov-Galerkin逼近 | 第89-96页 |
| 4.3.1 Galerkin逼近 | 第90-92页 |
| 4.3.2 Petrov-Galerkin逼近 | 第92-93页 |
| 4.3.3 误差估计及算法实施 | 第93-96页 |
| 4.4 数值结果 | 第96-97页 |
| 4.5 本章小结 | 第97-99页 |
| 4.6 附录:Levy过程与空间回火分数阶偏微分方程 | 第99-102页 |
| 第五章 时间分数阶扩散方程的轮廓积分和有理逼近方案 | 第102-124页 |
| 5.1 空间有限元半离散格式的稳定性和收敛性 | 第103-107页 |
| 5.1.1 半离散格式的稳定性 | 第104-106页 |
| 5.1.2 半离散格式的收敛性 | 第106-107页 |
| 5.2 分数阶时间微分方程的数值积分逼近 | 第107-119页 |
| 5.2.1 基于e~z的最优Chebyshev有理逼近的数值积分方法 | 第110-113页 |
| 5.2.2 基于逆Laplace变换和抛物线轮廓的数值积分方法 | 第113-116页 |
| 5.2.3 基于Dunford-Taylor积分表达式和圆周轮廓的数值积分方法 | 第116-119页 |
| 5.3 数值结果 | 第119-121页 |
| 5.4 本章小结 | 第121-122页 |
| 5.5 附录:CTWR模型与分数阶偏微分方程 | 第122-124页 |
| 第六章 回火时间分数阶Feynman-Kac方程的有限差分和有限元方案 | 第124-140页 |
| 6.1 模型的等价形式及物质导数的离散 | 第124-128页 |
| 6.1.1 导出方程(6.1)的等价形式 | 第125-127页 |
| 6.1.2 回火分数阶物质导数的离散 | 第127-128页 |
| 6.2 空间有限差分逼近方案 | 第128-132页 |
| 6.2.1 导出有限差分方案 | 第128页 |
| 6.2.2 全离散格式的稳定性和收敛性 | 第128-132页 |
| 6.3 空间有限元逼近方案 | 第132-135页 |
| 6.3.1 导出有限元逼近方案 | 第132页 |
| 6.3.2 全离散格式的稳定性和收敛性 | 第132-135页 |
| 6.4 数值结果 | 第135-137页 |
| 6.5 本章小结 | 第137-138页 |
| 6.6 附录:结论(6.19)的证明 | 第138-140页 |
| 第七章 总结与展望 | 第140-141页 |
| 7.1 总结 | 第140页 |
| 7.2 展望及未来工作 | 第140-141页 |
| 参考文献 | 第141-155页 |
| 在学期间的研究成果 | 第155-156页 |
| 致谢 | 第156页 |
