| 摘要 | 第5-7页 |
| ABSTRACT | 第7-8页 |
| 第1章 绪论 | 第16-25页 |
| 1.1 分布式椭圆控制问题 | 第17-20页 |
| 1.1.1 研究背景 | 第17-18页 |
| 1.1.2 维数灾难的问题 | 第18页 |
| 1.1.3 本文的主要工作 | 第18-20页 |
| 1.2 多尺度椭圆控制问题 | 第20-22页 |
| 1.2.1 研究背景 | 第20-21页 |
| 1.2.2 本文的主要工作 | 第21-22页 |
| 1.3 残差网络的随机训练方法 | 第22-24页 |
| 1.3.1 研究背景 | 第22页 |
| 1.3.2 本文的主要工作 | 第22-24页 |
| 1.4 本文结构安排 | 第24-25页 |
| 第2章 分布式随机椭圆控制问题 | 第25-70页 |
| 2.1 带随机系数的椭圆边值问题 | 第26-30页 |
| 2.1.1 随机函数空间 | 第26-27页 |
| 2.1.2 扩散系数的Karhumen-Loeve展式 | 第27-28页 |
| 2.1.3 解的适定性 | 第28-29页 |
| 2.1.4 有限维模型 | 第29-30页 |
| 2.2 带随机系数的椭圆控制问题 | 第30-36页 |
| 2.2.1 符号说明 | 第31页 |
| 2.2.2 解的适定性 | 第31-33页 |
| 2.2.3 蒙特卡洛有限元法和离散误差 | 第33-36页 |
| 2.3 基于部分采样的梯度下降法 | 第36-50页 |
| 2.3.1 固定步长的随机优化算法 | 第37-39页 |
| 2.3.2 算法的收敛性讨论 | 第39-45页 |
| 2.3.3 自适应步长的随机优化算法 | 第45-47页 |
| 2.3.4 数值算例和计算结果 | 第47-50页 |
| 2.4 多重蒙特卡洛有限元方法 | 第50-63页 |
| 2.4.1 误差分析和样本数公式 | 第51-56页 |
| 2.4.2 扩散系数的网格插值表示 | 第56-58页 |
| 2.4.3 数值算例和计算结果 | 第58-63页 |
| 2.5 本章小结和展望 | 第63-70页 |
| 2.5.1 扩散系数的稀疏结构 | 第64-70页 |
| 第3章 多尺度随机椭圆控制问题 | 第70-82页 |
| 3.1 符号说明 | 第71-72页 |
| 3.2 带多尺度随机系数的椭圆边值问题 | 第72-73页 |
| 3.3 多尺度控制问题的随机匀质化模型 | 第73-76页 |
| 3.4 数值算法和计算结果 | 第76-81页 |
| 3.4.1 蒙特卡洛有限元法和误差估计 | 第76-78页 |
| 3.4.2 一维数值算例 | 第78-80页 |
| 3.4.3 二维数值算例 | 第80-81页 |
| 3.5 本章小结和展望 | 第81-82页 |
| 第4章 残差网络的随机训练方法 | 第82-100页 |
| 4.1 背景知识 | 第83-86页 |
| 4.1.1 符号说明 | 第83-84页 |
| 4.1.2 残差网络的模型架构 | 第84-85页 |
| 4.1.3 传统训练的修正方程 | 第85-86页 |
| 4.2 残差网络的随机训练策略 | 第86-91页 |
| 4.2.1 随机训练的修正方程描述 | 第86-88页 |
| 4.2.2 加噪操作的人工粘性阐释 | 第88-90页 |
| 4.2.3 随机训练的多种衍生方案 | 第90-91页 |
| 4.3 模型的随机训练与泛化能力 | 第91-99页 |
| 4.3.1 一维数据的二分类问题 | 第92-95页 |
| 4.3.2 真实图像的多分类问题 | 第95-99页 |
| 4.4 本章小结和展望 | 第99-100页 |
| 参考文献 | 第100-107页 |
| 附录A 补充材料 | 第107-110页 |
| 致谢 | 第110-112页 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 | 第112页 |