| 摘要 | 第1-4页 |
| Abstract | 第4-9页 |
| 引言 | 第9-16页 |
| 第一章 变分法的发端 | 第16-27页 |
| ·古典等周问题 | 第16-22页 |
| ·等周问题的起源 | 第17-19页 |
| ·齐奥多鲁斯的几何解法 | 第19-20页 |
| ·帕普斯与等周问题 | 第20-22页 |
| ·等周问题在17世纪的复兴 | 第22页 |
| ·“最小”观念的萌生与发展 | 第22-24页 |
| ·“简单性”信仰和“最小量”假设 | 第23页 |
| ·早期光现象极值性的探索—“最小”观念的确立与发展 | 第23-24页 |
| ·伽利略科学研究新范式的建立和最速降线问题的萌芽 | 第24-27页 |
| ·科学研究的新范式 | 第24-25页 |
| ·最速降线问题的萌芽 | 第25-27页 |
| 第二章 变分法的酝酿和诞生 | 第27-76页 |
| ·费马的极值方法和最小时间原理 | 第27-30页 |
| ·最小时间原理的首次提出 | 第27-28页 |
| ·费马的极大、极小值方法 | 第28-29页 |
| ·最小时间原理的数学确认 | 第29-30页 |
| ·最小时间原理的影响和意义 | 第30页 |
| ·牛顿的最小阻力体问题 | 第30-40页 |
| ·最小阻力体问题 | 第32-34页 |
| ·牛顿1685年的解法分析 | 第34-36页 |
| ·牛顿1694年的解法分析 | 第36-38页 |
| ·变动端点问题和极值曲线场的萌芽 | 第38-39页 |
| ·牛顿变分法思想的影响 | 第39-40页 |
| ·约翰·伯努利最速降线问题挑战 | 第40-55页 |
| ·问题的提出和解决 | 第41-42页 |
| ·提出挑战的文化背景 | 第42-46页 |
| ·牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟的解法 | 第46-53页 |
| ·解法的比较与分析 | 第53-55页 |
| ·雅可布·伯努利等周问题挑战 | 第55-76页 |
| ·雅可布的挑战问题 | 第56-59页 |
| ·雅可布的解法与分析 | 第59-66页 |
| ·泰勒对问题的推广及解法分析 | 第66-70页 |
| ·约翰的解法分析 | 第70-74页 |
| ·三种解法的比较与评价 | 第74-75页 |
| ·早期阶段遗留的问题 | 第75-76页 |
| 第三章 欧拉对变分法的早期探索 | 第76-113页 |
| ·测地线问题—初涉变分法 | 第78-83页 |
| ·欧拉测地线研究的数学背景 | 第78-79页 |
| ·欧拉测地线问题的解法分析 | 第79-83页 |
| ·欧拉解决测地线问题的思想 | 第83页 |
| ·1732年的论文—等周法则崭露头角 | 第83-93页 |
| ·自由变分问题的解法分析 | 第84-86页 |
| ·等周问题的解法分析 | 第86-91页 |
| ·欧拉的形式化和形式推广 | 第91-92页 |
| ·小结 | 第92-93页 |
| ·1736年的论文—基本方程初现端倪 | 第93-102页 |
| ·自由变分问题的基本方程 | 第94-95页 |
| ·等周理论的进一步发展 | 第95-100页 |
| ·欧拉和泰勒等周问题解法的比较 | 第100-102页 |
| ·小结 | 第102页 |
| ·欧拉出错的原因及影响分析 | 第102-113页 |
| ·欧拉的错误 | 第103-104页 |
| ·欧拉出错的原因分析 | 第104-107页 |
| ·欧拉错误的影响分析 | 第107-113页 |
| 第四章 欧拉变分法的一般理论 | 第113-151页 |
| ·《技巧》中的主要问题及基本结果 | 第113-127页 |
| ·第一类变分问题的基本方程 | 第114-116页 |
| ·第二类变分问题的基本方程 | 第116-121页 |
| ·等周问题与等周法则 | 第121-127页 |
| ·基本方程的不变性—分析学对象变革的体现和产物 | 第127-134页 |
| ·基本方程形式的不变性 | 第128-131页 |
| ·分析学研究对象的变革 | 第131-132页 |
| ·欧拉不变性思想的动因 | 第132-134页 |
| ·欧拉建立基本方程的方法 | 第134-151页 |
| ·两个争论问题 | 第134-139页 |
| ·欧拉方法的理论基础 | 第139-142页 |
| ·欧拉的几何-分析法 | 第142-146页 |
| ·对两个争论问题的看法 | 第146-149页 |
| ·欧拉方法的局限性 | 第149-151页 |
| 第五章 欧拉变分法的力学应用—最小作用原理的提出 | 第151-165页 |
| ·最小作用原理的由来 | 第152-153页 |
| ·莫培都—最小作用原理的提出 | 第153-156页 |
| ·欧拉—最小作用原理的第一个精确表述 | 第156-163页 |
| ·小结 | 第163-165页 |
| 第六章 拉格朗日的变革与发展 | 第165-189页 |
| ·δ-方法的首次提出—变分法的一次变革 | 第165-174页 |
| ·拉格朗日的δ-方法 | 第167-170页 |
| ·欧拉和拉格朗日方法的比较 | 第170-171页 |
| ·拉格朗日的形式化改造 | 第171-173页 |
| ·小结 | 第173-174页 |
| ·δ-方法的正式发表—变分方法的发展 | 第174-183页 |
| ·参数形式的δ-方法 | 第174-178页 |
| ·变动端点问题的一般处理—横截性条件 | 第178-180页 |
| ·多重积分极值问题的开拓—极小曲面方程 | 第180-183页 |
| ·对拉格朗日推理的重构 | 第183页 |
| ·δ-方法由非参数形式到参数形式转变的原因分析 | 第183-189页 |
| ·拉格朗日和欧拉之间的早期通信 | 第184-185页 |
| ·拉格朗日对平面情形变动端点最速降线问题的非参数分析 | 第185-186页 |
| ·拉格朗日对平面情形变动端点最速降线问题的参数分析 | 第186-187页 |
| ·原因分析 | 第187-189页 |
| 第七章 拉格朗日和变分原理 | 第189-205页 |
| ·1761年的力学论文—最小作用原理的推广及应用 | 第190-194页 |
| ·最小作用原理的推广 | 第190-191页 |
| ·运动方程的推导 | 第191-194页 |
| ·1764的力学论文—动力学普遍方程 | 第194-196页 |
| ·1788年的《分析力学》—拉格朗日方程和力学的分析化 | 第196-202页 |
| ·广义坐标和拉格朗日方程 | 第197-200页 |
| ·走下神坛的最小作用原理 | 第200-202页 |
| ·拉格朗日变分原理的研究对变分法发展的影响 | 第202-203页 |
| ·从力学基础的研究看拉格朗日的变分法 | 第203-205页 |
| 第八章 变分法形式体系的建立 | 第205-225页 |
| ·变分法形式基础的创建 | 第205-214页 |
| ·18世纪对可积性问题的研究 | 第206-208页 |
| ·拉格朗日微积分的代数化方案—代数分析 | 第208-209页 |
| ·拉格朗日对可积性条件和变分法基础的研究 | 第209-213页 |
| ·小结 | 第213-214页 |
| ·变分法中乘子法则的起源和变分问题的统一 | 第214-225页 |
| ·乘子法则的力学起源 | 第215-220页 |
| ·微积分中乘数法则的引进 | 第220-221页 |
| ·变分法中乘子法则的提出 | 第221-222页 |
| ·等周问题和拉格朗日问题的统一 | 第222-224页 |
| ·小结 | 第224-225页 |
| 结语 | 第225-228页 |
| 参考文献 | 第228-237页 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文和参加的学术活动 | 第237-239页 |
| 致谢 | 第239页 |
