| 摘要 | 第5-6页 |
| Abstract | 第6-7页 |
| 1 绪论 | 第12-20页 |
| 1.1 课题背景与研究意义 | 第12页 |
| 1.2 经典约束力学系统的研究内容 | 第12-14页 |
| 1.3 分数阶约束力学系统变分问题与对称性的研究 | 第14-17页 |
| 1.4 时间尺度上约束力学系统变分问题与对称性的研究 | 第17-18页 |
| 1.5 本文的研究内容 | 第18-20页 |
| 2 时间尺度上Lagrange系统的对称性及其摄动 | 第20-32页 |
| 2.1 时间尺度微积分及其基本性质 | 第20-22页 |
| 2.2 奇异Lagrange系统的对称性与守恒量 | 第22-25页 |
| 2.2.1 运动微分方程 | 第22页 |
| 2.2.2 对称性的定义及判据 | 第22-23页 |
| 2.2.3 Noether定理 | 第23-24页 |
| 2.2.4 算例 | 第24-25页 |
| 2.3 Lagrange系统Noether对称性的摄动与绝热不变量 | 第25-28页 |
| 2.3.1 精确不变量 | 第25页 |
| 2.3.2 绝热不变量 | 第25-27页 |
| 2.3.3 算例 | 第27-28页 |
| 2.4 非完整系统Noether对称性的摄动与绝热不变量 | 第28-31页 |
| 2.4.1 Noether对称性的摄动与绝热不变量 | 第28-30页 |
| 2.4.2 算例 | 第30-31页 |
| 2.5 小结 | 第31-32页 |
| 3 时间尺度上Hamilton系统的Noether对称性与守恒量 | 第32-43页 |
| 3.1 对偶原理的基本性质 | 第32页 |
| 3.2 Nabla导数下Hamilton系统的Noether定理 | 第32-38页 |
| 3.2.1 正则方程 | 第32-33页 |
| 3.2.2 Noether定理 | 第33-37页 |
| 3.2.3 特例 | 第37-38页 |
| 3.2.4 算例 | 第38页 |
| 3.3 Delta导数下Hamilton系统的Noether定理 | 第38-42页 |
| 3.3.1 Noether定理 | 第38-41页 |
| 3.3.2 特例 | 第41-42页 |
| 3.3.3 算例 | 第42页 |
| 3.4 小结 | 第42-43页 |
| 4 时间尺度上Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量 | 第43-63页 |
| 4.1 Delta-nabla积分方程及自然边界条件 | 第43-51页 |
| 4.1.1 Delta-nabla积分方程 | 第43-48页 |
| 4.1.2 自然边界条件 | 第48-50页 |
| 4.1.3 算例 | 第50-51页 |
| 4.2 Delta导数下Birkhoff系统的Noether定理 | 第51-55页 |
| 4.2.1 Noether定理 | 第51-54页 |
| 4.2.2 特例 | 第54-55页 |
| 4.2.3 算例 | 第55页 |
| 4.3 Nabla导数下Birkhoff系统的Noether定理 | 第55-60页 |
| 4.3.1 Delta导数下的守恒量 | 第55-56页 |
| 4.3.2 Nabla导数下的守恒量 | 第56-58页 |
| 4.3.3 特例 | 第58-60页 |
| 4.3.4 算例 | 第60页 |
| 4.4 Delta导数下广义Birkhoff系统的Noether定理 | 第60-62页 |
| 4.4.1 广义Birkhoff方程 | 第60页 |
| 4.4.2 Noether定理 | 第60-61页 |
| 4.4.3 算例 | 第61-62页 |
| 4.5 小结 | 第62-63页 |
| 5 联合分数阶导数下Birkhoff系统的对称性及其摄动 | 第63-86页 |
| 5.1 分数阶微积分及其基本性质 | 第63-64页 |
| 5.2 分数阶Birkhoff方程 | 第64-65页 |
| 5.3 对称性与守恒量 | 第65-73页 |
| 5.3.1 联合Riemann-Liouville分数阶导数下的对称性与守恒量 | 第66-69页 |
| 5.3.2 Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数下的对称性与守恒量 | 第69-70页 |
| 5.3.3 联合Caputo分数阶导数下的对称性与守恒量 | 第70-71页 |
| 5.3.4 Riesz-Caputo分数阶导数下的对称性与守恒量 | 第71-73页 |
| 5.4 对称性的摄动与绝热不变量 | 第73-76页 |
| 5.5 算例 | 第76-85页 |
| 5.6 小结 | 第85-86页 |
| 6 Riemann-Liouville分数阶导数下Birkhoff系统的对称性及其摄动 | 第86-100页 |
| 6.1 分数阶Birkhoff系统对称性的摄动与绝热不变量 | 第86-89页 |
| 6.1.1 精确不变量 | 第86-87页 |
| 6.1.2 绝热不变量 | 第87-88页 |
| 6.1.3 算例 | 第88-89页 |
| 6.2 分数阶广义Birkhoff系统对称性的摄动与绝热不变量 | 第89-94页 |
| 6.2.1 分数阶广义Birkhoff方程 | 第89-90页 |
| 6.2.2 Noether准对称性与守恒量 | 第90-92页 |
| 6.2.3 Noether准对称性的摄动与绝热不变量 | 第92-93页 |
| 6.2.4 算例 | 第93-94页 |
| 6.3 变阶分数阶广义Birkhoff系统对称性的摄动与绝热不变量 | 第94-99页 |
| 6.3.1 变阶分数阶导数的定义及性质 | 第94-95页 |
| 6.3.2 绝热不变量 | 第95-98页 |
| 6.3.3 算例 | 第98-99页 |
| 6.4 小结 | 第99-100页 |
| 7 El-Nabulsi分数阶模型下Birkhoff系统的对称性及其摄动 | 第100-118页 |
| 7.1 分数阶广义Birkhoff系统Noether对称性的摄动与绝热不变量 | 第100-103页 |
| 7.1.1 精确不变量 | 第100-101页 |
| 7.1.2 绝热不变量 | 第101-103页 |
| 7.1.3 算例 | 第103页 |
| 7.2 分数阶Birkhoff系统Lie对称性的摄动与绝热不变量 | 第103-110页 |
| 7.2.1 Lie对称性与Hojman守恒量 | 第103-106页 |
| 7.2.2 Lie对称性与Noether守恒量 | 第106页 |
| 7.2.3 Lie对称性的摄动与绝热不变量 | 第106-107页 |
| 7.2.4 特殊无限小变换下的守恒量与绝热不变量 | 第107-108页 |
| 7.2.5 算例 | 第108-110页 |
| 7.3 分数阶Birkhoff系统Mei对称性的摄动与绝热不变量 | 第110-117页 |
| 7.3.1 Mei对称性与Mei守恒量 | 第110-112页 |
| 7.3.2 Mei对称性与Noether守恒量 | 第112-113页 |
| 7.3.3 Mei对称性与Hojman守恒量 | 第113页 |
| 7.3.4 Mei对称性的摄动与绝热不变量 | 第113-115页 |
| 7.3.5 算例 | 第115-117页 |
| 7.4 小结 | 第117-118页 |
| 8 分数阶运动差分方程 | 第118-127页 |
| 8.1 离散的分数阶微积分及其性质 | 第118-119页 |
| 8.2 离散的分数阶Lagrange方程 | 第119-122页 |
| 8.2.1 离散的分数阶Lagrange方程 | 第119-120页 |
| 8.2.2 分数阶约束下离散的分数阶Lagrange方程 | 第120-122页 |
| 8.2.3 算例 | 第122页 |
| 8.3 离散的分数阶Birkhoff方程 | 第122-126页 |
| 8.3.1 离散的分数阶Birkhoff方程 | 第122-124页 |
| 8.3.2 特例 | 第124-126页 |
| 8.3.3 算例 | 第126页 |
| 8.4 小结 | 第126-127页 |
| 9 结论与展望 | 第127-130页 |
| 9.1 工作总结 | 第127-128页 |
| 9.2 创新点 | 第128-129页 |
| 9.3 展望 | 第129-130页 |
| 致谢 | 第130-131页 |
| 参考文献 | 第131-143页 |
| 附录 | 第143-144页 |
