| 中文摘要 | 第5-6页 |
| Abstract | 第6页 |
| 1 引言 | 第11-18页 |
| 1.1 研究背景与现状 | 第11-12页 |
| 1.2 研究目的与意义 | 第12页 |
| 1.3 预备知识 | 第12-18页 |
| 1.3.1 相关的记号 | 第12-13页 |
| 1.3.2 相关的定义、定理 | 第13-18页 |
| 2 高阶等差数列的通项与求和 | 第18-24页 |
| 2.1 高阶等差数列的定义与通项 | 第18-21页 |
| 2.2 高阶等差数列的前n项和 | 第21-24页 |
| 3 利用差分算子求概率问题 | 第24-30页 |
| 3.1 利用差分算子求分布列、期望与方差 | 第24-27页 |
| 3.2 利用差分算子求r阶原点矩 | 第27-30页 |
| 4 利用差分算子解多项式问题 | 第30-49页 |
| 4.1 差分算子公式的应用 | 第30-36页 |
| 4.2 差分多项式的性质及应用 | 第36-42页 |
| 4.3 Lagrange插值与差分插值的几点注记 | 第42-49页 |
| 4.3.1 Lagrange插值多项式及其几何内涵 | 第42-43页 |
| 4.3.2 Lagrange插值与差分插值的比较分析 | 第43-49页 |
| 5 利用差分算子推演组合恒等式 | 第49-66页 |
| 5.1 运用零的差分推演组合恒等式 | 第49-51页 |
| 5.2 利用差分公式推演组合恒等式 | 第51-58页 |
| 5.3 借助组合变换推演组合恒等式 | 第58-60页 |
| 5.4 有关Abel恒等式及其衍生恒等式 | 第60-66页 |
| 6 利用差分算子证明组合序列的性质 | 第66-77页 |
| 6.1 Stirling数的性质及算子证明 | 第66-71页 |
| 6.2 Bell数及其算子恒等式 | 第71-77页 |
| 7 数学竞赛试题的分析与编拟 | 第77-92页 |
| 7.1 数学竞赛试题的背景分析 | 第77-84页 |
| 7.1.1 一道全国高中数学联赛试题的背景分析 | 第77-80页 |
| 7.1.2 一道罗马尼亚国家队选拔考试题的背景分析 | 第80-84页 |
| 7.2 数学竞赛试题的命制与编拟 | 第84-92页 |
| 7.2.1 直接移用算子定义命制新赛题 | 第85-86页 |
| 7.2.2 演绎深化命题条件编拟新赛题 | 第86-90页 |
| 7.2.3 引申拓展已知结论生成新赛题 | 第90-92页 |
| 8 数学竞赛试题的推广 | 第92-117页 |
| 8.1 案例1代数几何题的推广 | 第92-95页 |
| 8.2 案例2组合恒等式的推广 | 第95-106页 |
| 8.2.1 一道中国国家队选拔考试题的推广 | 第95-99页 |
| 8.2.2 对本文第五章中组合恒等式的推广 | 第99-104页 |
| 8.2.3 利用组合变换进一步推导恒等式 | 第104-106页 |
| 8.3 案例3与数论有关的竞赛试题的推广 | 第106-117页 |
| 8.3.1 一道罗马尼亚国家队选拔考试题的推广 | 第106-111页 |
| 8.3.2 一道中国数学奥林匹克题的推广 | 第111-117页 |
| 9 总结与展望 | 第117-118页 |
| 参考文献 | 第118-122页 |
| 攻读硕士学位期间完成的学术论文及获奖情况 | 第122-123页 |
| 致谢 | 第123页 |
