| 中文摘要 | 第5-7页 |
| Abstract | 第7-8页 |
| 第一章 引言 | 第9-13页 |
| 1.1 不适定问题 | 第9-10页 |
| 1.2 Helmholtz方程的研究背景 | 第10-13页 |
| 第二章 预备知识 | 第13-33页 |
| 2.1 正则化方法 | 第13-17页 |
| 2.1.1 正则化方法的数学定义 | 第14-15页 |
| 2.1.2 一些常用的正则化方法 | 第15-17页 |
| 2.2 Helmholtz方程的性质 | 第17-26页 |
| 2.2.1 边界条件 | 第19-21页 |
| 2.2.2 Green表示定理和远场图形 | 第21-23页 |
| 2.2.3 球调和函数和贝塞尔函数 | 第23-26页 |
| 2.3 位势理论 | 第26-29页 |
| 2.4 外部区域Helmholtz方程解的存在性和唯一性 | 第29-33页 |
| 第三章 Helmholtz方程解的唯一延拓问题 | 第33-47页 |
| 3.1 椭圆方程解的唯一延拓问题 | 第33-34页 |
| 3.2 Helmholtz方程解在解析曲线上的唯一延拓问题 | 第34-40页 |
| 3.3 数值方法和实验模拟 | 第40-44页 |
| 3.3.1 配点方法 | 第40-41页 |
| 3.3.2 直线上的唯一延拓 | 第41-43页 |
| 3.3.3 解析曲线上的唯一延拓 | 第43-44页 |
| 3.4 本章小结 | 第44-47页 |
| 第四章 Helmholtz方程的逆源问题 | 第47-93页 |
| 4.1 带源项的Helmholtz方程 | 第47-50页 |
| 4.2 逆源问题的不适定性 | 第50-55页 |
| 4.2.1 非散射源现象 | 第50-51页 |
| 4.2.2 逆源问题的不适定性 | 第51-52页 |
| 4.2.3 非散射源的等价定义 | 第52-55页 |
| 4.3 多频数据逆源问题的唯一性 | 第55-64页 |
| 4.3.1 基于Fourier变换的逆源问题唯一性 | 第55-57页 |
| 4.3.2 Helmholtz方程逆源问题的最小范数解 | 第57-59页 |
| 4.3.3 Laplace方程的特征值问题 | 第59-60页 |
| 4.3.4 部分边界多频观测数据逆源问题的唯一性 | 第60-64页 |
| 4.4 正问题算子的奇异值分解 | 第64-68页 |
| 4.5 多频率(或波数)测量数据的递归迭代正则化方法 | 第68-85页 |
| 4.5.1 递归迭代正则化方法 | 第68-69页 |
| 4.5.2 递归Landweber迭代法 | 第69-71页 |
| 4.5.3 递归Landweber迭代法的收敛性证明 | 第71-83页 |
| 4.5.4 递归迭代Tikhonov正则化方法 | 第83-85页 |
| 4.6 数值实验模拟 | 第85-90页 |
| 4.6.1 递归Landweber迭代法 | 第85-89页 |
| 4.6.2 递归迭代Tikhonov正则化方法 | 第89-90页 |
| 4.7 本章小结 | 第90-93页 |
| 参考文献 | 第93-99页 |
| 攻读博士期间已发表及完成论文目录 | 第99-100页 |
| 致谢 | 第100-101页 |
