Bezout整环上矩阵减偏序的一些研究

【摘要】：上世纪八十年代以来,矩阵减偏序的理论和应用研究一直备受人们关注,得到了很大的发展.本文主要讨论环上矩阵的减偏序理论.设R是一个环,0≠A∈Rm×n,则存在最小的正整数r使得A=BC,其中B∈Rm×r,C∈Rr×n我们称这个最小的正整数r为矩阵A的内秩,记为ρ(A).特别,当A=0时定义p(A)=0.设A,B∈Rm×n,如果ρ(B-A)=ρ(B)-ρ(A),则称A在B的下方,记作A≤B.我们称Rm×n中的二元关系≤为矩阵的减偏序,它是一种偏序.本文共分为三章.第一章主要介绍课题背景,主要研究内容和结果.第二章研究环矩阵减偏序以及Bezout整环上矩阵减偏序理论.我们首先指出环上矩阵的减偏序的基本性质,例如A≤B(?)PAQ≤PBQ,其中P,Q是可逆矩阵.接下来,我们证明了Bezout整环上矩阵减偏序的一些重要的性质,例如：如果A≤B,则B是幂等阵可推出A是幂等阵；B有广义逆可推出A也有广义逆.本章的主要结果是证明了关于Bezout整环上矩阵减偏序的一系列等价条件,其中几个等价条件如下：·A≤B且B有广义逆.●对B的每广义逆B-都有A=AB-B=BB-A=AB-A.·A有广义逆且{B-}(?){A-},即B的每个广义逆都是A的广义逆.●存在M∈Rn×m使得B-A=BM B并且MBM=M.●存在B的一个最小秩分解B=P1Q1使得A=P1TQ1,其中T是一个幂等阵.对体上矩阵的减偏序,我们能得到更多的和更为精致的结果.在第二章的最后一节中,我们证明了关于体上矩阵减偏序的五个基本的等价条件：在第三章中,本文对体上矩阵的减序自同构的代数刻画作了初步的讨论.
【关键词】：环 Bezout整环 体 内秩 矩阵减偏序 广义逆 减序自同构
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2014
【分类号】：O151.21;O153.3