| 摘要 | 第4-6页 |
| 英文摘要 | 第6-7页 |
| Contents | 第8-10页 |
| Introduction | 第10-14页 |
| Acknowledgements | 第14-15页 |
| 1 Preliminaries | 第15-38页 |
| 1.1 Modular forms | 第15-27页 |
| 1.1.1 Definition | 第15-17页 |
| 1.1.2 Eisenstein series and discriminant modular form △ | 第17-19页 |
| 1.1.3 Dirichlet characters and modular forms | 第19-21页 |
| 1.1.4 Diamond and Hecke operators | 第21-25页 |
| 1.1.5 Newforms | 第25-27页 |
| 1.2 Modular curves | 第27-32页 |
| 1.2.1 Modular curves over C | 第27-29页 |
| 1.2.2 Jacobian variety of X_r | 第29-30页 |
| 1.2.3 Diamond and Hecke operators | 第30-31页 |
| 1.2.4 Function fields of modular curves over C | 第31-32页 |
| 1.3 Modular symbols | 第32-38页 |
| 1.3.1 Modular symbols spaces | 第32-33页 |
| 1.3.2 Pairings | 第33-34页 |
| 1.3.3 Manin symbols | 第34-36页 |
| 1.3.4 Hecke operators | 第36-38页 |
| 2 Galois representations and modular forms | 第38-47页 |
| 2.1 Galois representations | 第38-40页 |
| 2.2 Representations associated to newforms | 第40-42页 |
| 2.3 Serre's conjecture | 第42-47页 |
| 3 Description of the algorithm | 第47-53页 |
| 3.1 Outline of the Algorithm | 第47-49页 |
| 3.2 Galois theory of modular curves | 第49-50页 |
| 3.3 Algorithm for Our Cases | 第50-53页 |
| 3.3.1 Finding modular curves | 第50-51页 |
| 3.3.2 Realization of ρ in the Jacobian of a modular curve | 第51-52页 |
| 3.3.3 Description of the computations | 第52-53页 |
| 4 Numerical computations and examples | 第53-61页 |
| 4.1 Numerical evaluations on modular forms | 第53-55页 |
| 4.2 Numerical evaluations of the polynomials | 第55页 |
| 4.3 Examples | 第55-60页 |
| 4.4 Further computations in future | 第60-61页 |
| 5 Lehmer's conjecture for modular forms of level one | 第61-73页 |
| 5.1 Congruences for the coefficients of △_k | 第61-65页 |
| 5.2 The bounds for Lehmer's conjecture | 第65-72页 |
| 5.3 Further research | 第72-73页 |
| Bibliography | 第73-79页 |
| Papers and preprints | 第79-80页 |
