分数阶Fokker-Planck方程的有限差分方法的收敛性研究

【摘要】：本文介绍了一种分析求解时间分数阶Fokker-Planck方程(FFPE)有限差分格式的稳定性和收敛性的新方法.(FFPE)是一种典型的分数阶微分方程,该方程可以描述在外力场作用下系统中产生的反常扩散行为,有很重要的实际应用背景.首先,我们回顾了分数阶微分方程的历史及其发展现状,并给出了三种分数阶导数的定义,简要介绍了了论文研究的内容和研究意义；其次,介绍了时间分数阶Fokker-Planck方程的五种差分方法,以及差分格式的稳定性和收敛性的证明.基于上述差分格式的稳定性和收敛性的获得对函数的要求条件很强,提出了在较宽泛条件下五种差分格式稳定性和收敛性的证明的新方法.我们选择了上述五种差分格式中的L1-CDIA差分为例进行分析.首先证明了L1-CDIA差分的单调性；其次证明了在L1范数下L1-CDIA差分格式的稳定性和收敛性；最后给出了实际算例的数值模拟,并计算了关于时间和空间收敛阶,验证了其空间和时间收敛阶与理论分析的一致性.文章最后,对本文讨论的数值方法做了简单的总结,同时提出了可以进一步研究的问题,并期待有更好的应用前景.
【关键词】：分数阶Fokker-Planck方程 有限差分法
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2014
【分类号】：O241.82