| 摘要 | 第4-6页 |
| Abstract | 第6-7页 |
| 目录 | 第8-10页 |
| 1 绪论 | 第10-18页 |
| 1.1 分数阶微积分的起源 | 第10-12页 |
| 1.2 现代分数阶微积分的发展与应用 | 第12-16页 |
| 1.3 本文的主要工作 | 第16-18页 |
| 2 预备知识 | 第18-28页 |
| 2.1 完备赋范空间与拓扑度理论 | 第18-21页 |
| 2.2 分数阶积分与分数阶导数的基本性质 | 第21-26页 |
| 2.3 本章小结 | 第26-28页 |
| 3 分数阶常微分方程边值问题的存在性 | 第28-56页 |
| 3.1 带有非正则边界条件的分数阶边值问题 | 第28-34页 |
| 3.2 带有积分边界条件的分数阶边值问题 | 第34-46页 |
| 3.3 带有反周期边界条件的分数阶边值问题 | 第46-55页 |
| 3.4 本章小结 | 第55-56页 |
| 4 第一类广义分数阶算子的基本理论及应用 | 第56-86页 |
| 4.1 定义与基本性质 | 第56-59页 |
| 4.2 广义分数阶扩散-波动方程的数值解 | 第59-66页 |
| 4.3 广义分数阶振子的动力学分析 | 第66-83页 |
| 4.3.1 广义分数阶谐振子的动力学 | 第70-76页 |
| 4.3.2 广义分数阶van der Pol振子的动力学 | 第76-83页 |
| 4.4 本章小结 | 第83-86页 |
| 5 第二类广义分数阶算子的基本理论及应用 | 第86-118页 |
| 5.1 定义与基本性质 | 第86-91页 |
| 5.2 广义分数阶对流-扩散方程的数值解 | 第91-101页 |
| 5.3 广义分数阶Burgers方程的扩散特征 | 第101-114页 |
| 5.4 齐次广义扩散方程与广义对流-扩散方程的解析解 | 第114-117页 |
| 5.5 本章小结 | 第117-118页 |
| 6 广义分数阶变分问题 | 第118-164页 |
| 6.1 变分学基本原理 | 第118-124页 |
| 6.2 分数阶古典变分问题 | 第124-139页 |
| 6.2.1 确定边界的分数阶极值问题 | 第126-134页 |
| 6.2.2 不确定边界的分数阶极值问题 | 第134-139页 |
| 6.3 广义分数阶变分问题 | 第139-149页 |
| 6.3.1 确定边界的广义分数阶泛函极值问题 | 第142-145页 |
| 6.3.2 不确定边界的广义分数阶泛函极值问题 | 第145-149页 |
| 6.4 二维平面凸区域上的广义分数阶变分问题 | 第149-162页 |
| 6.4.1 二维平面凸区域上的广义分数阶积分和广义分数阶导数 | 第149-151页 |
| 6.4.2 广义分部积分公式 | 第151-152页 |
| 6.4.3 广义分数阶泛函极值问题 | 第152-162页 |
| 6.5 本章小结 | 第162-164页 |
| 7 总结与展望 | 第164-168页 |
| 7.1 工作总结 | 第164-165页 |
| 7.2 分数阶微积分领域的若干问题 | 第165-168页 |
| 参考文献 | 第168-182页 |
| 附录1 分数阶积分和导数的Laplace变换 | 第182-184页 |
| 附录2 分数阶常微分方程初值问题 | 第184-186页 |
| 附录3 凸区域上的广义分数阶Gauss公式和Stokes公式 | 第186-188页 |
| 攻读学位期间主要的研究成果 | 第188-190页 |
| 攻读学位期间参与的科研项目与学术经历 | 第190-192页 |
| 致谢 | 第192-193页 |
