| 摘要 | 第1-7页 |
| 已发表或即将发表的与博士论文有关的文章 | 第7-9页 |
| 简介 | 第9-11页 |
| 第一章 一维数值微分 | 第11-49页 |
| §1．1 已有结果 | 第12-13页 |
| §1．2 一般问题的正则化解及其性质 | 第13-31页 |
| §1．2．1 问题 | 第14-15页 |
| §1．2．2 理论结果及相关证明 | 第15-22页 |
| §1．2．3 正则化解在整个[0，1]区间上的性质 | 第22-25页 |
| §1．2．4 正则化解在不光滑点附近的性质 | 第25-29页 |
| §1．2．5 算法一：一阶导数的重构算法 | 第29-31页 |
| §1．3 高阶导数 | 第31-41页 |
| §1．3．1 问题 | 第32页 |
| §1．3．2 主要理论结果 | 第32-36页 |
| §1．3．3 误差估计 | 第36-39页 |
| §1．3．4 算法二：二阶导数的重构算法 | 第39-41页 |
| §1．4 数值例子 | 第41-49页 |
| §1．4．1 例1(对应第1．2节)：光滑函数的一阶导数 | 第41-42页 |
| §1．4．2 例2(对应第1．2．4节)：确定函数的不连续点 | 第42-45页 |
| §1．4．3 例3(对应第1．3节)光滑函数的二阶导数 | 第45-46页 |
| §1．4．4 例4(对应第1．3节)：确定系数函数 | 第46-49页 |
| 第二章 二维离散数据的数值微分 | 第49-90页 |
| §2．1 问题 | 第49-51页 |
| §2．2 一阶偏导 | 第51-59页 |
| §2．2．1 解的存在性与唯一性 | 第51-56页 |
| §2．2．2 误差估计 | 第56-59页 |
| §2．3 二阶偏导 | 第59-75页 |
| §2．3．1 解的存在性与唯一性 | 第60-66页 |
| §2．3．2 误差估计 | 第66-70页 |
| §2．3．3 二阶数值微分的泛函的另一种提法 | 第70-72页 |
| §2．3．4 附录：G(x．y)=G(y．x)的证明 | 第72-75页 |
| §2．4 数值例子 | 第75-90页 |
| §2．4．1 一阶偏导的数值微分：区域是单位圆 | 第75-77页 |
| §2．4．2 一阶偏导的数值微分：区域是个长方形 | 第77-81页 |
| §2．4．3 二阶偏导的数值微分：区域是长方形 | 第81-90页 |
| 第三章 应用 | 第90-113页 |
| §3．1 计算机层析成像 | 第90-92页 |
| §3．2 求解Abel积分方程 | 第92-100页 |
| §3．2．1 问题以及一些相应的结果 | 第93-97页 |
| §3．2．2 算法 | 第97-98页 |
| §3．2．3 例1：光滑函数 | 第98-99页 |
| §3．2．4 例2：不连续函数 | 第99页 |
| §3．2．5 例3：不连续函数，但先找到不连续点 | 第99-100页 |
| §3．3 图像边界识别 | 第100-102页 |
| §3．4 腐蚀探测：二维薄板 | 第102-105页 |
| §3．5 腐蚀探测：三维直管道内壁的腐蚀问题 | 第105-109页 |
| §3．6 附录：用边界元方法创建测量数据 | 第109-113页 |
| 参考文献 | 第113-118页 |
| 发表文章 | 第118-120页 |
| 致谢 | 第120-121页 |
| 论文独创性声明 | 第121页 |
| 论文使用授权声明 | 第121页 |
