| 摘要 | 第3-4页 |
| Abstract | 第4页 |
| 1 符号指标定理的直接随机证明 | 第6-18页 |
| 1.1 引言 | 第6-9页 |
| 1.2 代数知识 | 第9-11页 |
| 1.3 黎曼流形上热核的概率表示 | 第11-13页 |
| 1.4 主要定理的证明 | 第13-18页 |
| 2 Malliavin随机分析引论 | 第18-24页 |
| 2.1 Wiener泛函及其Sobolev空间 | 第18-20页 |
| 2.2 Wiener泛函的分布光滑性 | 第20-24页 |
| 3 Atiyah-Singer指标定理的随机证明 | 第24-40页 |
| 3.1 引言 | 第24-26页 |
| 3.2 Clifford代数与旋量丛 | 第26-30页 |
| 3.3 Stroock的关于抛物系统的Feynman-Kac公式 | 第30-31页 |
| 3.4 Dirac指标定理的概率方法证明 | 第31-36页 |
| 3.5 扭化Dirac指标定理的概率方法证明 | 第36-40页 |
| 4 加权流形上的加权Dirac算子 | 第40-52页 |
| 4.1 定义与性质 | 第40-42页 |
| 4.2 指标公式 | 第42-44页 |
| 4.3 第一特征值估计 | 第44-45页 |
| 4.4 关于加权Laplacian的Liouville定理 | 第45-52页 |
| Bibliography | 第52-58页 |
| 致谢 | 第58页 |