分数阶微分方程非线性边值问题解的存在性

【摘要】：分数阶微分方程是微分方程的一个重要分支,它是一门研究任意非整数阶微分方程的理论,包括任意实数甚至复数阶次.关于分数阶微分方程的研究是在整数阶微分方程的基础上推广而来的.其中定性分析包括分数阶微分方程解的存在性、唯一性、稳定性、振动性等性质的研究,尤其是解的存在性和唯一性得到了国内外许多数学工作者的广泛关注和研究.在本文中,主要讨论了两类含有非线性边值条件的分数阶微分方程.首先研究了一类Caputo型分数阶微分方程非线性边值问题解的存在性和唯一性;然后研究了一类Riemann-Liouville型分数阶时滞微分方程积分边值问题解的存在性、唯一性以及多解性.最后得到了一些解的存在性定理,并举例验证得到的结论.本文共分为以下四个部分:在第一章绪论中主要介绍了分数阶微分方程的发展历史、研究意义与国内外研究现状,并概述了本文的研究内容及结构.在第二章预备知识中给出了在本文讨论中用到的关于分数阶微积分的基本概念,以及在本文的证明过程中涉及到的基本引理等理论知识.第三章讨论了当阶数1d2时,一类含有非线性边值条件的Caputo型分数阶微分方程.通过构造比较定理,利用上下解方法结合单调迭代技术构建了极值解的存在性,并得到了解的存在唯一性的定理,最后举例验证结论的合理性.第四章利用上下解和单调迭代技术研究了一类Riemann-Liouville型分数阶时滞微分方程积分边值问题解的存在性和唯一性,并利用Leray-Schauder度理论得到了该类问题多解性的结论.
【关键词】：分数阶微分方程 Caputo导数 Riemann-Liouville导数 上下解 单调迭代技术 Leray-Schauder度 时滞
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2013
【分类号】：O175.8