| 摘要 | 第3-5页 |
| Abstract | 第5-6页 |
| 第一章 引言 | 第10-16页 |
| 1.1 研究背景 | 第10-15页 |
| 1.2 本文结构安排 | 第15-16页 |
| 第二章 求解分数阶扩散方程的一系列基于分数阶导数超收敛点的高阶伪紧格式 | 第16-63页 |
| 2.1 逼近Riemann-Liouville空间分数阶导数线性组合的一系列高阶差分方法 | 第17-31页 |
| 2.1.1 一些二阶逼近方法 | 第18-21页 |
| 2.1.2 Grünwald算子逼近的截断误差的渐进展开形式 | 第21-27页 |
| 2.1.3 一系列高阶伪紧逼近方法的导出 | 第27-31页 |
| 2.2 求解分数阶扩散问题的高阶稳定差分格式 | 第31-44页 |
| 2.2.1 一般形式的高阶数值格式的导出 | 第31-35页 |
| 2.2.2 导出格式中矩阵性质的讨论 | 第35-39页 |
| 2.2.3 稳定性和收敛性分析 | 第39-44页 |
| 2.3 数值实验 | 第44-53页 |
| 2.4 本章小结 | 第53-54页 |
| 2.5 附录 | 第54-63页 |
| 2.5.1 一般形式的伪紧差分格式的导出 | 第54-60页 |
| 2.5.2 数值例子 | 第60-63页 |
| 第三章 非一致网格上逼近空间分数阶算子的高阶有限差分方法 | 第63-118页 |
| 3.1 非一致网格上求解分数阶导数的离散方法 | 第64-85页 |
| 3.1.1 磨光算子 | 第68-75页 |
| 3.1.2 区间划分和一些符号定义 | 第75-76页 |
| 3.1.3 分数阶导数在非一致网格上的逼近方法 | 第76-85页 |
| 3.2 在非一致网格上求解空间分数阶扩散方程 | 第85-96页 |
| 3.2.1 非一致网格上数值格式的导出 | 第85-89页 |
| 3.2.2 收敛性和稳定性分析 | 第89-96页 |
| 3.3 数值实验 | 第96-102页 |
| 3.4 本章小结 | 第102-103页 |
| 3.5 附录A | 第103-115页 |
| 3.6 附录B | 第115-118页 |
| 第四章 Tempered分数阶问题的谱方法研究 | 第118-166页 |
| 4.1 讨论tempered分数阶算子时需要的泛函空间及其性质 | 第118-132页 |
| 4.1.1 Tempered分数阶算子 | 第118-120页 |
| 4.1.2 分数阶积分空间 | 第120-132页 |
| 4.1.2.1 分数阶积分空间的定义 | 第120-125页 |
| 4.1.2.2 分数阶积分空间的性质 | 第125-132页 |
| 4.2 Tempered对流/扩散问题的变分形式和谱方法分析 | 第132-152页 |
| 4.2.1 Tempered分数阶对流问题 | 第133-143页 |
| 4.2.1.1 变分形式 | 第133-135页 |
| 4.2.1.2 Petrov-Galerkin谱方法 | 第135-137页 |
| 4.2.1.3 误差估计 | 第137-140页 |
| 4.2.1.4 具体数值实现 | 第140-143页 |
| 4.2.2 Tempered分数阶扩散问题 | 第143-152页 |
| 4.2.2.1 变分形式 | 第143-146页 |
| 4.2.2.2 Petrov-Galerkin tau方法 | 第146-147页 |
| 4.2.2.3 误差估计 | 第147-150页 |
| 4.2.2.4 具体数值实现 | 第150-152页 |
| 4.3 数值实验 | 第152-159页 |
| 4.3.1 Tempered分数阶对流问题中d=0的情形 | 第152-154页 |
| 4.3.2 Tempered分数阶对流问题中d≠0的情形 | 第154-155页 |
| 4.3.3 Tempered分数阶扩散问题 | 第155-159页 |
| 4.4 本章小结 | 第159-160页 |
| 4.5 附录A | 第160-162页 |
| 4.6 附录B | 第162-166页 |
| 第五章 总结与展望 | 第166-168页 |
| 5.1 总结 | 第166-167页 |
| 5.2 展望及未来工作 | 第167-168页 |
| 参考文献 | 第168-177页 |
| 在学期间的研究成果 | 第177-178页 |
| 致谢 | 第178-180页 |
