| 摘要 | 第3-6页 |
| ABSTRACT | 第6-8页 |
| 第一章 引言 | 第13-16页 |
| 1.1 研究背景 | 第13-16页 |
| 第二章 空间分数阶扩散方程的四阶精度格式 | 第16-43页 |
| 2.1 空间分数算子的一类四阶精度离散格式的导出 | 第17-31页 |
| 2.1.1 离散格式的导出 | 第17-25页 |
| 2.1.2 空间分数阶导数有效的四阶精度逼近 | 第25-31页 |
| 2.2 应用于空间分数阶扩散方程 | 第31-36页 |
| 2.2.1 一维的数值格式 | 第32-34页 |
| 2.2.2 二维的数值格式 | 第34-36页 |
| 2.3 稳定性和收敛性分析 | 第36-41页 |
| 2.3.1 一维的稳定性及收敛性 | 第38-39页 |
| 2.3.2 二维的稳定性及收敛性 | 第39-41页 |
| 2.4 数值结果 | 第41-43页 |
| 2.4.1 一维的数值结果 | 第41-42页 |
| 2.4.2 二维的数值结果 | 第42-43页 |
| 第三章 分数阶物质导数及其离散 | 第43-71页 |
| 3.1 分数阶物质微积分的性质 | 第44-52页 |
| 3.2 分数阶物质微积分的离散及其收敛阶: Fourier变换方法 | 第52-57页 |
| 3.3 分数阶物质微积分的离散及其收敛阶: 分数阶线性多步法 | 第57-67页 |
| 3.4 数值结果 | 第67-69页 |
| 3.5 附录 | 第69-71页 |
| 第四章 向前和向后的分数阶Feynman-Kac方程的数值方法 | 第71-104页 |
| 4.1 分数阶Feynman-Kac方程的有限差分法 | 第73-85页 |
| 4.1.1 导出差分格式 | 第73-76页 |
| 4.1.2 稳定性和收敛性 | 第76-85页 |
| 4.2 分数阶Feynman-Kac方程的有限元方法 | 第85-94页 |
| 4.2.1 分数阶Feynman-Kac方程的变分 | 第85-86页 |
| 4.2.2 半离散格式的稳定性和误差估计 | 第86-90页 |
| 4.2.3 全离散格式的有限元法及误差估计 | 第90-94页 |
| 4.3 数值结果 | 第94-99页 |
| 4.3.1 关于P (x, ρ, t)的数值结果 | 第94-97页 |
| 4.3.2 以Dirac delta函数为初始条件的模拟 | 第97-99页 |
| 4.4 附录 | 第99-104页 |
| 第五章 截断L′evy飞行的分数阶物质导数扩散方程的高阶算法 | 第104-136页 |
| 5.1 齐次边界条件的高阶算法 | 第106-122页 |
| 5.1.1 有效的空间二阶离散格式的导出 | 第107-112页 |
| 5.1.2 数值格式的导出 | 第112-115页 |
| 5.1.3 稳定性和收敛性分析 | 第115-121页 |
| 5.1.4 数值结果 | 第121-122页 |
| 5.2 非齐次边界/初始条件的高阶算法 | 第122-132页 |
| 5.2.1 修正的高阶离散格式 | 第122-128页 |
| 5.2.2 修正的高阶离散格式的收敛阶及物理模拟 | 第128-132页 |
| 5.3 附录A | 第132-134页 |
| 5.4 附录B | 第134-136页 |
| 参考文献 | 第136-142页 |
| 作者攻读博士学位期间发表的论文 | 第142-143页 |
| 致谢 | 第143页 |
